Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1}  - 1}}{{x(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x(x + 1)\left( {\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{(x + 1)\left( {\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)}} = 1.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1.\)

Chọn A.