Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x =  - 1\) và tại \(x =  - 1\) 

Hàm số liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\) 

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục tại từng khoảng xác định của hàm số.

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\cos \frac{{\pi x}}{2}\,\,\,khi\,\, - 1 \le x \le 1\\\left| {x - 1} \right|\,\,\,\,khi\,\,\,x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = \cos \frac{{\pi \left( { - 1} \right)}}{2} = 0;\,\,\,f\left( 1 \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \cos \frac{{\pi \left( { - 1} \right)}}{2} = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{\,\,x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \left| {\left( { - 1} \right) - 1} \right| = 2;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{^ - }}} f\left( x \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \left| {1 - 1} \right| = 0;\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)\\f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{^ - }}} f\left( x \right) = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hàm số liên tục tại \(x = 1\),  không liên tục tại điểm \(x =  - 1\).

Chọn B.