Phương pháp giải:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{x + 1 - x - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)

Vì hàm số đã cho là hàm bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số đơn điệutrên từng khoảng xác định của hàm số.

\( \Rightarrow \) Xét trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) ta có:  \(y\left( 1 \right) = \dfrac{{1 + m}}{2};\,\,y\left( 2 \right) = \dfrac{{2 + m}}{3}\)  là các GTNN và GTLN của hàm số.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y\left( 1 \right) + y\left( 2 \right) = \dfrac{{m + 1}}{2} + \dfrac{{m + 2}}{3} = 8 \Leftrightarrow 3m + 3 + 2m + 4 = 48 \Leftrightarrow m = \dfrac{{41}}{5}.\\ \Rightarrow 8 < m < 10.\end{array}\) 

Chọn C.