Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  đồng biến trên \(R \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A: \(y' = 2 + 2\sin 2x\)

Ta có: \( - 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow  - 1 \le  - \sin 2x \le 1 \Rightarrow 1 \le 2 - \sin 2x \le 3\)

\( \Rightarrow y' > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Chọn A.

+) Đáp án B: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow \) loại đáp án B.

+) Đáp án C: \(y' = 2x - 2 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \) hàm số có \(y'\) đổi dấu tại \(x = 1.\)  

+) Đáp án D: \(D = \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) loại đáp án D.

Chọn A.