Lời giải chi tiết:

* Giả sử \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {A;B;C} \right)\). ĐK: \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\).

\(\left( P \right)\) qua \(C\left( {0;0;1} \right)\) có phương trình \(Ax + By + C\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz - C = 0\).

* \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {A + C - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\mathop  = \limits_{\left( 1 \right)} \dfrac{{\left| {2A - B - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\mathop  = \limits_{\left( 2 \right)} \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

* Xét \(A = 1\). Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow \left| {2 - B - C} \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - B - C = 1\\2 - B - C =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 1 - B\,\,\left( 3 \right)\\C = 3 - B\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\).

* Thay (3) vào (1) ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {B^2} + {{\left( {1 - B} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow 2{B^2} - 2B + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 0,\,\,C = 1,\,\,A = 1\\B = 1,\,\,C = 0,\,\,A = 1\end{array} \right.\)

Ta có 2 mặt phẳng \(\left[ \begin{array}{l}x + z - 1 = 0\\x + y = 0\end{array} \right.\).

* Thay (4) vào (1) ta có : \(\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {B^2} + {{\left( {3 - B} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow 2{B^2} - 6B + 10 = 2\) (vô nghiệm).

Chọn A.