Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng AB. Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\)

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow d\left( {{M_0};\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)\) là 1 VTPT của AB; \(B\left( {0;3} \right) \in \left( {AB} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {AB} \right):4x + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 9 = 0\) 

Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {M;AB} \right) = \frac{{\left| {4m + 3.0 - 9} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4m - 9} \right|}}{5} = 1 \Leftrightarrow \left| {4m - 9} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4m - 9 = 5\\4m - 9 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{2} \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};0} \right)\\m = 1 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\) 

Chọn A.