Phương pháp giải:

Từ điều kiện đề bài và công thức \({\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\) để tính \(\cos \frac{\alpha }{2}\), từ đó tính \(\tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sin \frac{\alpha }{2}}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}}\)

Áp dụng công thức \(\tan \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha \tan \beta }}\)  để tính \(A.\)

Lời giải chi tiết:

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) và \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\) 

Vì \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \frac{\pi }{4} < \frac{\alpha }{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} > 0.\)

Do \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}}  = \sqrt {1 - \frac{4}{5}}  = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sin \frac{\alpha }{2}}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}} = 2.\)

\( \Rightarrow A = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \frac{\alpha }{2} - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\alpha }{2}.\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2.1}} = \frac{1}{3}.\)

Chọn C.