Phương pháp giải:

Phân tích thành nhân tử và rút gọn: \(\frac{{{{\left( {1 + 2x} \right)}^2} - 1}}{x} = \frac{{\left( {1 + 2x - 1} \right)\left( {1 + 2x + 1} \right)}}{x} = 2\left( {2x + 2} \right)\) để khử dạng  \(\frac{0}{0}\)  rồi tính giới hạn của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có :   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + 2x} \right)}^2} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 + 2x - 1} \right)\left( {1 + 2x + 1} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2\left( {2x + 2} \right)} \right] = 4\)

Chọn A.