Phương pháp giải:

+) Do \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) nên \(P\left( x \right)\) được biểu diễn dưới dạng \(P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

+) Tính \(P'\left( x \right)\), từ đó tính \(P'\left( {{x_1}} \right);\,\,P'\left( {{x_2}} \right);\,\,P'\left( {{x_3}} \right)\).

+) Thay vào biểu thức \(\dfrac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}\). Quy đồng và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Do \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) nên \(P\left( x \right)\) được biểu diễn dưới dạng \(P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(P'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {{x_1}} \right) = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\\P\left( {{x_2}} \right) = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\\P\left( {{x_3}} \right) = a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} + \dfrac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}} + \dfrac{1}{{a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}}\\ = \dfrac{{ - {x_2} + {x_3} - {x_3} + {x_1} - {x_1} + {x_2}}}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)}} = 0 \end{array}\)