Phương pháp giải:

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\), từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy:

+) Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì \(f'\left( x \right) > 0\).

+) Trên khoảng \(\left( {2;4} \right)\) thì \(f'\left( x \right) < 0\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy GTNN của hàm số đạt được bằng \(f\left( 0 \right)\) hoặc \(f\left( 4 \right)\).

Ta sẽ so sánh \(f\left( 0 \right)\) và \(f\left( 4 \right)\) như sau:

\(\begin{array}{l}f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) - f\left( 4 \right) = 2f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) - f\left( 3 \right)\\ = \left[ {f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right)} \right] + \left[ {f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right)} \right] > 0\,\,\,\left( {do\,\,f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right),f\left( 2 \right) > f\left( 3 \right)} \right).\end{array}\)  

Do đó \(f\left( 0 \right) - f\left( 4 \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) > f\left( 4 \right)\).

Vậy \(m = f\left( 4 \right)\).

Chọn A.