Phương pháp giải:

Biến đổi và đặt \({5^x} = t\left( {t > 0} \right)\) rồi sử dụng hàm số \(y = \frac{{at + b}}{{ct + d}}\) đồng biến trên \(K \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\\frac{{ - d}}{c} \notin K\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ad - bc > 0\\\frac{{ - d}}{c} \notin K\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐK : \({5^{ - x}} \ne m.\)

Ta có : \(y = \frac{{{5^{ - x}} + 2}}{{{5^{ - x}} - m}} = \frac{{\frac{1}{{{5^x}}} + 2}}{{\frac{1}{{{5^x}}} - m}} = \frac{{{{2.5}^x} + 1}}{{ - m{{.5}^x} + 1}}\)

Đặt \({5^x} = t\left( {t > 0} \right) \Rightarrow y = \frac{{2t + 1}}{{ - mt + 1}}\,\left( {t \ne \frac{1}{m}} \right)\) . Với \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\)

Để hàm số \(y = \frac{{{5^{ - x}} + 2}}{{{5^{ - x}} - m}}\)  đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) thì hàm số \(y = \frac{{2t + 1}}{{ - mt + 1}}\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right).\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = \frac{{2 + m}}{{{{\left( { - mt + 1} \right)}^2}}} > 0\\\frac{1}{m} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + m > 0\\\left[ \begin{array}{l}\frac{1}{m} \le 0\\\frac{1}{m} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >  - 2\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\\frac{{1 - m}}{m} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >  - 2\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\0 \le m \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m \le 0\\0 \le m \le 1\end{array} \right. \Rightarrow  - 2 < m \le 1\)  

Chọn C.