Phương pháp giải:

Tính chiều cao \(SA\) theo định lý Pytago

Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \frac{1}{3}h.S\) với \(h\) là chiều cao hình chóp và \(S\) là diện tích đáy.

Lời giải chi tiết:

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {2{a^2} + 2{a^2}}  = 2a.\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\)

Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a.{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)

Chọn A.