Phương pháp giải:

Cho tam giác đều ABC, G là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng qua G cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Khi đó, \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = 3\)

Thật vậy,  gọi I là trung điểm của BC, qua B, C kẻ các đường thẳng song song MN, cắt đường thẳng AI tại E, F.

Khi đó, \(\Delta BIE = \Delta CIF \Rightarrow IE = IF\)

Ta có:  \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AE}}{{AG}} + \frac{{AF}}{{AG}} = \frac{{AE + AF}}{{AG}} = \frac{{2.AI}}{{AG}} = \frac{{2.AI}}{{\frac{2}{3}AI}} = 3\;\;\;\left( {do\;\;IE = IF} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Do SABC là tứ diện đều, G là trọng tâm tam giác ABC

\( \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \)Thể tích khối tứ diện SAMN: \(V = \frac{1}{3}.SG.{S_{AMN}}\)

+)  Tam giác ABC đều, cạnh bằng 1 \( \Rightarrow AJ = \frac{{1.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.AJ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác SAG vuông tại G \( \Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {1 - \frac{1}{3}}  = \sqrt {\frac{2}{3}} \)

+) Diện tích tam giác AMN: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin A = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM\)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = 3\)

Mà  \(\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow 3 \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow \frac{{\sqrt {AM.AN} }}{2} \ge \frac{1}{3} \Rightarrow AM.AN \ge \frac{4}{9}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM \ge \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\\ \Rightarrow {V_{SAMN}} \ge \frac{1}{3}.\sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(AM = AN = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \left( {{V_{SAMN}}} \right)\min  = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\) khi và chỉ khi \(AM = AN = \frac{2}{3}\) hay MN là đường thẳng qua G song song với BC

Chọn: A