Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\) hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\)thì \(x = a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{1 - {x^2}}} = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{1}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{{{x^2}}} - 1}} = 0 \Rightarrow \)Đồ thị hàm số có TCN là \(y = 0\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt {1 + x} }} =  + \infty \,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt {1 + x} }} =  - \infty \,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt {1 + x} }} =  + \infty \,\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có TCĐ là \(x = 1,\,\,x =  - 1\)

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.

Chọn: A