Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \)  hoặc \(x = a\)  là nghiệm của \(h\left( x \right) = 0\) mà không là nghiệm của \(g\left( x \right) = 0.\)

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} + x - m \ne 0\end{array} \right..\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{{x^2} + x - m}} = 0 \Rightarrow y = 0\) là TCN của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số chỉ có đúng 2 đường tiệm cận \( \Leftrightarrow \) đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.

\( \Leftrightarrow pt\;\;{x^2} + x - m = 0\) có nghiệm kép \(x \ge 3\) hoặc có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < 3 \le {x_2}.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 1 + 4m = 0\\{3^2} + 3 - m = 0\end{array} \right.\\a.f\left( 3 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m =  - \frac{1}{4}\\m = 12\end{array} \right.\\{3^2} + 3 - m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 12.\)

Lại có: \(m \in \left[ { - 2019;\;2019} \right];\;\;\;m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {13;\;14;\;........;\;2019} \right\}.\)

Như vậy có: \(2007\) giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.