Phương pháp giải:

+ Tính diện tích xung quanh hình nón còn lại

+ Sử dụng công thức \({S_{xq}} = \pi Rl\) để tính bán kính đáy của hình nón này.

+ Sử dụng công thức \({R^2} + {h^2} = {l^2}\) để tính chiều cao hình nón

+ Sử dụng công thức \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) để tính thể tích hình nón còn lại.

(với \(R\) là bán kính đáy hình nón, \(h\) là chiều cao hình nón và \(l\) là đường sinh hình nón)

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình tròn là \(S = \pi {r^2} = 25\pi \)

Diện tích xung quanh hình nón còn lại là \({S_2} = 25\pi  - 15\pi  = 10\pi \)

Nhận xét rằng khi quấn hình quạt được cắt từ hình tròn thành hình nón  thì đường sinh của hình nón chính là bán kính của hình tròn. Từ đó hình nón còn lại có đường sinh \(l = 5\).

Lại có diện tích xung quanh hình nón còn lại là \(10\pi \) nên gọi \(R\) là bán kính hình nón này thì

 \({S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow 10\pi  = \pi R.5 \Rightarrow R = 2\)

Ta gọi chiều cao hình nón này là \(h\left( {h > 0} \right)\)  thì \({h^2} + {R^2} = {l^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {R^2}}  = \sqrt {{5^2} - {2^2}}  = \sqrt {21} \)

Thể tích hình nón còn lại là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.\sqrt {21}  = \dfrac{{4\pi \sqrt {21} }}{3}\)

Chọn A.