Phương pháp giải:

Đặt \(t = {e^x}\). Đưa phương trình đã cho về phương trình ẩn \(t\) với \(t \in \left( {1;5} \right)\)

Cô lập \(m\) và sử dụng phương pháp hàm số để phương trình ẩn \(t\) có đúng hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {1;5} \right)\) khi đó phương trình đã cho cũng có đúng hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\ln 5} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {e^x}\). Khi đó với \(x \in \left( {0;\ln 5} \right) \Rightarrow t \in \left( {{e^0};{e^{\ln 5}}} \right)\) hay \(t \in \left( {1;5} \right)\)

Phương trình đã cho trở thành \(2{t^2} - 8t - m = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 8t = m\) với  \(t \in \left( {1;5} \right)\)

Nhận thấy rẳng để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {0;\ln 5} \right)\) thì phương trình \(2{t^2} - 8t = m\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {1;5} \right)\).

Xét \(f\left( t \right) = 2{t^2} - 8t \Rightarrow f'\left( t \right) = 4t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \in \left( {1;5} \right)\)

BBT của \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {1;5} \right)\) :

Từ BBT ta thấy phương trình \(2{t^2} - 8t = m\) có hai nghiệm phân biệt \(t \in \left( {1;5} \right)\) khi và chỉ khi \( - 8 < m <  - 6\)

Vậy để phương trình \(2{e^{2x}} - 8{e^x} - m = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0;\ln 5} \right)\)thì \(m \in \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow a =  - 8;b =  - 6 \Rightarrow a + b =  - 14.\)

Chọn D.