Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0;\,\forall x \in \mathbb{R}\) và dấu   chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}.\)

Hay \(\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = g\left( x \right)\) với \(\forall x \in \mathbb{R}.\)

Suy ra \(m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\) với \(g\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\) , xét \(g'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

BBT của \(g\left( x \right).\)

Từ BBT suy ra \(\min g\left( x \right) =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Nên \(m \le  - 1\) thì hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Chọn C.