Phương pháp giải:

+) Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right]\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

+) Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right)\).

+) Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right]\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow {x^2} + 2x \ge 2m\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow 2m \le \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} \Rightarrow 2m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) ta có :

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right] \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\).

Vậy \(2m \le 1 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}\).

Chọn B.