Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) tiếp xúc với nhau \( \Leftrightarrow \) Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3}\) tiếp xúc với trục hoành

\( \Leftrightarrow \) hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3} = 0\\3{x^2} - 6mx + 3m = 0\end{array} \right.\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3} = 0\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 2mx + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

(2) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} = m\left( {2x - 1} \right)\)

TH1: \(x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = 0\) (vô lí)

TH2: \(x \ne \frac{1}{2} \Rightarrow m = \frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}\)

Thay vào (1) ta có:  \({x^3} - 3\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}{x^2} + 3\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}x + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}} \right)^2} - 2{\left( {\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}} \right)^3} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}\left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^3} - 3x{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 3{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + x\left( {2x - 1} \right) - 2{x^3}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 12{x^3} + 12{x^2} - 3x + 12{x^2} - 12x + 3 + 2{x^2} - x - 2{x^3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ - 6{x^3} + 14{x^2} - 10x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{3}\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = 0 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\end{array}\)

Chọn D.