Phương pháp giải:

Chia khối lập phương, nhận xét các khối tạo thành và tính thể tích của chúng.

Lời giải chi tiết:

Chia khối lập phương \(ABC.A'B'C'\) bởi mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\) ta được :

+) Chóp \(A.A'B'D'\).

+) Chóp \(C'.BCD\)

+) Khối bát diện \(ABD.B'C'D'\).

Ta có \({V_{A.A'B'D'}} = \frac{1}{3}AA'.{S_{A'B'D'}} = \frac{1}{3}AA'.\frac{1}{2}A'B'.A'D' = \frac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)

Tương tự ta có \({V_{C'.BCD}} = \frac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\).  

\( \Rightarrow {V_{ABD.B'C'D'}} = \frac{2}{3}{V_{ABD.B'C'D'}}\).

Các khối \(A.A'B'D'\) và \(C'.BCD\) không phải là chóp tam giác đều và khối bát diện \(ABD.B'C'D'\) không phải khối bát diện đều.

Do đó chỉ có mệnh đề III đúng.

Chọn B.