Phương pháp giải:

- Tìm số cực trị của hàm số \(y = f\left( {x - 2018} \right) + m\), từ đó suy ra điều kiện để hàm số bài cho có \(5\) điểm cực trị.

- Từ đó suy ra giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = f\left( {x - 2018} \right) + m\) có \(3\) điểm cực trị nên để đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2018} \right) + m} \right|\) có \(5\) điểm cực trị thì đường thẳng \(y = 0\) phải cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {x - 2018} \right) + m\) tại đúng \(2\) điểm (không bao gồm các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( {x - 2018} \right) + m\)).

Nói cách khác, đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {x - 2018} \right) \) tại đúng \(2\) điểm (không bao gồm các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( {x - 2018} \right)\)).

Quan sát đồ thị ta thấy \(\left[ \begin{array}{l} - 6 <  - m \le  - 3\\ - m \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 \le m < 6\\m \le  - 2\end{array} \right.\).

Mà \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {3;4;5} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(3 + 4 + 5 = 12\).

Chọn C.