Phương pháp giải:

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{1 - \sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} - 2x - 3}} = \dfrac{{1 - \sqrt {4 - {x^2}} }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

Điều kiện \( - 2 \le x \le 2\) nên không tồn tại các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{1 - \sqrt {4 - {x^2}} }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} =  - \infty \) nên \(x =  - 1\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có \(1\) TCĐ và không có TCN hay \(m = 1,n = 0\).

Vậy \(m + n = 1\).

Chọn A.