Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\). Khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) xảy ra tại hữu hạn điểm.

Sử dụng phương pháp hàm số để tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x > 0 \Leftrightarrow {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \ge 0\,\,\forall x > 0 \Leftrightarrow {x^3} + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \ge  - m\,\,\forall x > 0\).

Đặt \(g\left( x \right) = {x^3} + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \Rightarrow  - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\)

Ta có \(g\left( x \right) = {x^3} + \dfrac{3}{{2{x^2}}} = \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{{{x^3}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}\mathop  \ge \limits^{C\^o  - si} 5\sqrt[5]{{\dfrac{{{x^3}}}{2}.\dfrac{{{x^3}}}{2}.\dfrac{1}{{2{x^2}}}.\dfrac{1}{{2{x^2}}}.\dfrac{1}{{2{x^2}}}}}\)

Suy ra \(g\left( x \right) \ge \dfrac{5}{2}\). Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{{{x^3}}}{2} = \dfrac{1}{{2{x^2}}} \Rightarrow {x^5} = 1 \Leftrightarrow x = 1\)(TM)

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow x = 1\), suy ra \( - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) \Leftrightarrow  - m \le \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{5}{2}\)

Nên các giá trị nguyên âm của \(m\) thỏa mãn đề bài là \(m =  - 2;m =  - 1.\)

Chọn A.