Phương pháp giải:

Xác định tâm, bán kính của khối cầu.

Thể tích khối cầu có bán kính r là: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường kính AD.

Ta chứng minh O là tâm mặt cầu đi qua 6 điểm A, B, C, \({B_1},{C_1}\) và D:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot A{C_1}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}A{C_1} \bot SC\\A{C_1} \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow A{C_1} \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow A{C_1} \bot {C_1}D\)

\( \Rightarrow {C_1}\) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

Tương tự, \({B_1}\) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

Hiển nhiên, \(A,\;B,\;D,\;C\) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

\( \Rightarrow O\)là tâm mặt cầu đi qua 6 điểm \(A,\;B,\;C,\;{B_1},\;{C_1},\;D\)

\( \Rightarrow O\)là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,\;B,\;C,\;{B_1},\;{C_1}\)

Tính bán kính R của mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,\;B,\;C,\;{B_1},\;{C_1}\):

 Xét tam giác ABC: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle A}  = \sqrt {4 + 9 - 2.2.3.\cos 60^\circ }  = \sqrt 7 \left( {cm} \right)\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle A \Rightarrow \frac{{2.3.\sqrt 7 }}{{4R}} = \frac{1}{2}.2.3.\sin {60^0}\\ \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt 7 }}{{2R}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow R = \frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }}\left( {cm} \right)\end{array}\)

Thể tích khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\sqrt {\frac{7}{3}} } \right)^3} = \frac{{28\sqrt 7 \pi }}{{9\sqrt 3 }} = \frac{{28\sqrt {21} \pi }}{{27}}\left( {c{m^3}} \right)\).

Chọn A.