Phương pháp giải:

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\), từ đó suy ra m.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) + m \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {6{x^2} + 1} \right).f'\left( {2{x^3} + x - 1} \right)\)

Với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì  \(\left( {2{x^3} + x - 1} \right) \in \left[ { - 1;\;2} \right]\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0,\,\,x \in \left[ { - 1;\;1} \right]\)

\( \Rightarrow f'\left( {2{x^3} + x - 1} \right) \le 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow g'\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;\;2} \right]\) (do \(6{x^2} + 1 > 0,\forall x\))

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow \)\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = f\left( { - 1} \right) + m = 3 + m\)

Theo đề bài, ta có: \(3 + m =  - 10 \Leftrightarrow m =  - 13\).

Chọn A.