Phương pháp giải:

Ta nhân chéo đưa về phương trình bậc hai ẩn \(x\) , tham số \(y.\)

Tính \(\Delta \) theo \(y\) rồi biện luận phương trình có nghiệm thì \(\Delta  \ge 0\) . Từ đó ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(y.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y = \dfrac{{x + a}}{{{x^2} + 1 + 2a}}\)\( \Rightarrow y\left( {{x^2} + 1 + 2a} \right) = x + a \Leftrightarrow {x^2}.y - x + y + 2ay - a = 0\) (*)

Ta có \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4y\left( {y + 2ay - a} \right) =  - 4{y^2} - 8a{y^2} + 4ay + 1\)

\( =  - 4\left( {2a + 1} \right){y^2} + 4ay + 1\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì

\(\begin{array}{l}\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 4\left( {2a + 1} \right){y^2} + 4ay + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - \left( {8a + 4} \right){y^2} - 2y + \left( {4a + 2} \right)y + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 2y\left( {\left( {4a + 2} \right)y + 1} \right) + \left( {4a + 2} \right)y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {4a + 2} \right)y + 1} \right]\left( {1 - 2y} \right) \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{4a + 2}} \le y \le \dfrac{1}{2}\)  (với \(a > 0\))

Suy ra  giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) lần lượt là \(M = \dfrac{1}{2};m = \dfrac{{ - 1}}{{4a + 2}}\)

Từ gỉa thiết suy ra \(3M + 7m = 0 \Leftrightarrow 3.\dfrac{1}{2} + 7.\left( {\dfrac{{ - 1}}{{4a + 2}}} \right) = 0 \Rightarrow  - 7 + 3\left( {2a + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\)

Chọn A.