Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)  và \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d:y = x + 1\)

Bước 1: Gọi \(\left( \Delta  \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho  của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ;  \(\left( \Delta  \right)\) đi qua  \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc \(k.\)

Bước 2: \(\left( \Delta  \right)\) có dạng \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Để \(\left( \Delta  \right)\) tiếp xúc với đồ thị \(y = f\left( x \right)\) thì hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = k\\f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\end{array} \right.\) có nghiệm

Bước 3: Giải hệ bằng phương pháp thế  và từ ycbt suy ra phương trình \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) có hai nghiệm phân biệt.

Sử dụng nhận xét: Hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\) cắt trụ hoành tại hai điểm phân biệt khi hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {m;m + 1} \right) \in d:y = x + 1\)  với \(m > 0.\)

Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến \(\left( \Delta  \right)\) với đồ thị (C) đi qua \(M\left( {m;m + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( \Delta  \right)\) có dạng: \(y = k\left( {x - m} \right) + m + 1\)

Để \(\left( \Delta  \right)\) tiếp xúc với (C) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 1 = k\left( {x - m} \right) + m + 1\\k = 3{{\rm{x}}^2}\end{array} \right.\) có nghiệm.

\( \Rightarrow {x^3} + 1 = 3{x^2}\left( {x - m} \right) + m + 1 \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^3} - 3m{{\rm{x}}^2} + m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Ta xét \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 3m{x^2} + m\), bài toán được đưa về tìm \(m > 0\) để đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt hay hàm số \(g\left( x \right)\) có hai điểm cực trị sao cho \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0\)

Ta có \(g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow 6x\left( {x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = m\\x = m \Rightarrow g\left( m \right) =  - {m^3} + m\end{array} \right.\)

Suy ra \(m\left( { - {m^3} + m} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2}\left( { - {m^2} + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là \(M\left( {1;2} \right)\).

Chọn C.