Phương pháp giải:

+) Dựng trục của 2 mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\), xác định giao điểm, chứng minh giao điểm đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\).

+) Sử dụng định lí Pytago và các kiến thức cơ bản tính bán kính \(R\) mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\), sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(SAB\).

Qua \(O\) dựng \({d_1}//SH \Rightarrow {d_1} \bot \left( {ABCD} \right)\), qua \(G\) dựng \({d_2}//OH \Rightarrow {d_2} \bot \left( {SAB} \right)\).

Gọi \(I = {d_1} \cap {d_2}\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in {d_1} \Rightarrow IA = IB = IC = ID\\I \in {d_2} \Rightarrow IA = IB = IS\end{array} \right. \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS\)

\( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\).  

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HG = \frac{1}{3}SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = OI\).

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt 5  \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Áp dụng định Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) ta có: \(IA = \sqrt {I{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{12}} + \frac{{5{a^2}}}{4}}  = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3} = R\)

Vậy \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \frac{{4{a^2}}}{3} = \frac{{16\pi {a^2}}}{3}\).

Chọn B.