Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( R \right)\\\left( Q \right) \bot \left( R \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( R \right)\)  để tìm chiều cao của hình chóp

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}S.h\)  với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao hình chóp.

Lời giải chi tiết:

Từ đề bài ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\)

Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)  và \(AB = AC = BC = a\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\left( {do\,SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC} \right)\)  nên theo định lý Pytago ta có \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Thể tích khối chóp là \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2  = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)  (đvtt)

Chọn: B