Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}S.h\)  với \(h\) là chiều cao hình chóp, \(S\) là diện tích đáy.

Lời giải chi tiết:

Ta có  chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(SA = SB = SC = SD = 3a;\,AB = AD = BC = DC = 2a\), chiều cao \(SO\) (với \(O\) là  tâm \(ABCD\) )

Ta có \(BD = \sqrt {B{C^2} + D{C^2}}  = 2a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \dfrac{{BD}}{2} = a\sqrt 2 \)

Tam giác \(SOB\) vuông tại \(O \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}}  = \sqrt {9{a^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = a\sqrt 7 \)

Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = B{C^2} = 4{a^2}\)

Thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \dfrac{1}{3}.4{a^2}.a\sqrt 7  = \dfrac{{4\sqrt 7 {a^3}}}{3}\)

Chọn C.