Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp \({\left( {f\left( u \right)} \right)^\prime } = u'.f'\left( u \right)\)

Từ đó kết hợp với đồ thị đã cho để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) suy ra \(g'\left( x \right) = {\left( {f\left( {{x^2} - 2} \right)} \right)^\prime } = 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right)\)

Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2\) và \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < 2\) và \(x \ne  - 1\)

+ Để hàm \(g\left( x \right)\) nghịch biến thì \(g'\left( x \right) < 0 \Rightarrow 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 < 2\\x \ne  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 2 < x < 2\\x \ne  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 2\\x <  - 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)

Suy ra D sai.

Chọn D.

Chú ý khi giải:

Các em cũng có thể lập bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.