Phương pháp giải:

Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(y\left( {{x_1}} \right)y\left( {{x_2}} \right) < 0\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3} + 1\)  có: \(y' = 3{x^2} - 6mx = 0\;\;\left( * \right)\)

Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\).

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(y\left( {{x_1}} \right)y\left( {{x_2}} \right) < 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 0\\y\left( 0 \right).y\left( {2m} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {4{m^3} + 1} \right)\left( {8{m^3} - 12{m^3} + 4{m^3} + 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\4{m^3} + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m <  - \sqrt[3]{{\dfrac{1}{4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - \sqrt[3]{{\dfrac{1}{4}}}\).

Kết hợp điều kiện \(m \ge  - 2019,\,\,m \in  & Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...; - 1} \right\}\).

Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.