Phương pháp giải:

Giải phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x - m \ge 0 \Leftrightarrow x \ge m.\)

 \(\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\sqrt {x - m}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 4 = 0\\x - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 1\\x = m\end{array} \right.\)

TH1: \(m < 1 \Rightarrow \) Hai nghiệm \(x = 1;\,\,x = 4\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge m\), khi đó phương trình đã cho có 3 nghiệm \(x = 4;\,\,x = 1;\,\,x = m \Rightarrow \) Loại.

TH2: \(m = 1 \Rightarrow DKXD:\,\,x \ge 1\). Phương trình có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

TH3: \(1 < m < 4\). Ta có \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 < m\,\,\left( {ktm} \right)\\x = m\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow 1 < m < 4\) thỏa mãn.

TH4: \(m = 4\), ta có: \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 < m\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 4 \Rightarrow \) Loại.

TH5: \(m > 4 \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = m\,\,\left( {tm} \right)\) nên loại.

Vậy \(1 \le m < 4\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Chọn  C.