Phương pháp giải:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\; \in \left[ {1;\;3} \right]\\x =  - 2 \notin \left[ {1;\;3} \right]\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 5;\;f\left( 2 \right) = 4;\;f\left( 3 \right) = \frac{{13}}{3}\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\end{array}\)

Chọn  B.