Phương pháp giải:

Khảo sát và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x,y > 0\,,\,\,x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x\,\,\left( {0 \le x \le 2} \right)\).

Khi đó: \(P = {x^3} + 3{x^2} + 3{y^2} - 3x - 5 = {x^3} + 3{x^2} + 3{\left( {2 - x} \right)^2} - 3x - 5 = {x^3} + 3{x^2} + 12 - 12x + 3{x^2} - 3x - 5\)

\( = {x^3} + 6{x^2} - 15x + 7\) với \(x \in \left[ {0;2} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} - 15x + 7\) trên \(\left[ {0;2} \right]\)ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 12x - 15\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 5\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), có \(f\left( 0 \right) = 7;\,\,f\left( 1 \right) =  - 1;\,\,f\left( 2 \right) = 9\,\, \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là – 1, khi và chỉ khi \(x = y = 1\).

Chọn: B