Phương pháp giải:

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}\ge 3\), tìm GTLN của hàm số \(f\left( t \right)\) với \(t\ge 3\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align} f\left( x \right)=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}+6x-{{x}^{2}}-4 \\  f\left( x \right)=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}-\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)+8 \\ \end{align}\)

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}\ge 3\), khi đó ta có \(f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+6t+8\,\,\forall t\ge 3\).

Ta có \(f'\left( t \right)=-2t+6=0\Leftrightarrow t=3\).

BBT :

\(\begin{align} \Rightarrow \underset{\left[ 3;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=17\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}=3\Leftrightarrow x=3 \\  \Rightarrow \max f\left( x \right)=17=M\Leftrightarrow x=3 \\ \end{align}\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right)=M\) có nghiệm duy nhất \(x=3\), do đó tích các nghiệm của chúng bằng 3.

Chọn B.