Phương pháp giải:

+) Gọi \(M \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {m;\dfrac{m}{{m - 1}}} \right),\,\left( {m \ne 1} \right)\).

+) Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận.

+) Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dễ dàng nhận thấy đồ thị \(\left( C \right)\) có 2 đường tiệm cận: \(x = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 0\,\,\left( {{d_1}} \right)\) và \(y = 1 \Leftrightarrow y - 1 = 0\,\,\left( {{d_2}} \right).\)

Lấy \(M \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {m;\dfrac{m}{{m - 1}}} \right),\,\left( {m \ne 1} \right)\).

Ta có \(d\left( {M;\left( {{d_1}} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {m - 1} \right|;\,\,d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{m}{{m - 1}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\left| {m - 1} \right|}}\).

Khi đó: \(S = \left| {m - 1} \right| + \dfrac{1}{{\left| {m - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {m - 1} \right|.\dfrac{1}{{\left| {m - 1} \right|}}}  = 2\)

\( \Rightarrow {S_{\min }} = 2\) khi và chỉ khi \(\left| {m - 1} \right| = \dfrac{1}{{\left| {m - 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\) .

Chọn: D