Phương pháp giải:

+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\).

+) Phương trình \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \left[ {\min f\left( x \right);\max f\left( x \right)} \right]\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2} + \dfrac{{18\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }} = m\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{{18\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }} = m\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{{18\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }}\). Sử dụng chức năng MODE 7, ta tìm được \(\min f\left( x \right) = 7 \Leftrightarrow x = 0\).

Để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm \( \Rightarrow m \ge 7\). Kết hợp điều kiện ta có \(m \in \left[ {7;2018} \right],\,\,m \in Z\). Vậy có \(\left( {2018 - 7} \right) + 1 = 2012\) giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.