Câu hỏi
Cho tập \(X = \left\{ {1;2;3;.......;8} \right\}\). Lập từ \(X\) số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là:
- A \(\dfrac{{A_8^2A_6^2A_4^2}}{{8!}}\).
- B \(\dfrac{{4!4!}}{{8!}}\).
- C \(\dfrac{{C_8^2C_6^2C_4^2}}{{8!}}\).
- D \(\dfrac{{384}}{{8!}}\).
Lời giải chi tiết:
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = A_8^8 = 8!\).
Gọi số cần lập có dạng \(A = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}...{a_8}} \,\,\left( {{a_i} \in Z;\,\,{a_i} \ne {a_j}\,\forall i \ne j} \right)\).
Do X có 8 phần tử và tổng các phần tử là 36 nên A chia hết cho 9, lại có \(\left( {9;11} \right) = 1\) nên A chia hết cho 9999.
Ta có :
\(\begin{array}{l}A = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}...{a_8}} = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} {.10^4} + \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} .\left( {9999 + 1} \right) + \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \\\,\,\,\,\, = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} .9999 + \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} + \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \end{array}\)
Vì A chia hết cho 9999 nên \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} + \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) chia hết cho 9999.
\({a_i} \in X\) nên \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} + \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} < 2.9999 \Rightarrow \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} + \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} = 9999\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_5} = 9\\{a_2} + {a_6} = 9\\{a_3} + {a_7} = 9\\{a_4} + {a_8} = 9\end{array} \right.\)
Có 8 cách chọn \({a_1}\). Với mỗi \({a_1}\) sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho \({a_5}\).
Có 6 cách chọn \({a_2}\). Với mỗi \({a_2}\) sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho \({a_6}\).
Có 4 cách chọn \({a_3}\). Với mỗi \({a_3}\) sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho \({a_7}\).
Có 2 cách chọn \({a_4}\). Với mỗi \({a_4}\) sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho \({a_8}\).
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 8.6.4.2 = 384\).
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{384}}{{8!}}\).
Chọn D.
Câu hỏi trước
