Câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
- A \(\left( { - 1;1} \right)\).
- B \(\left( {0;1} \right)\).
- C \(\left( {1;4} \right)\).
- D \(\left( {\sqrt 3 ;4} \right)\).
Phương pháp giải:
Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), lập bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 1 = - 1\\{x^2} + 1 = 1\\{x^2} + 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Các nghiệm trên đều là các nghiệm bội lẻ, do đó đều là cực trị của hàm số \(y = g'\left( x \right)\).
Xét \(x = - 1\) ta có \(g'\left( { - 1} \right) = - 2f'\left( 2 \right) > 0\), từ đó ta có bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) như sau :
Dựa vào các đáp án ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
