Phương pháp giải:

Hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 3} \right)x + 18m\).

Để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^3} - 3\left( {m + 3} \right){x^2} + 18mx - 8 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\6{x^2} - 6\left( {m + 3} \right) + 18m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 3m = 0\) có \(\Delta  = {\left( {m + 3} \right)^2} - 12m = {\left( {m - 3} \right)^2}\), do đó phương trình (2) có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 3\end{array} \right.\)

+) Với \(x = 3\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 54 - 27\left( {m + 3} \right) + 54m - 8 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{35}}{{27}}\).

+) Với \(x = m\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{m^3} - 3{m^3} - 9{m^2} + 18{m^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow  - 3{m^3} + 9{m^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4 \pm 2\sqrt 6 \end{array} \right.\).

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = 1\).

Chọn B.