Phương pháp giải:

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki xác định khoảng giá trị của \(x + y\).

+) Đặt \(t = x + y\), đưa biểu thức P về dạng \(P = f\left( t \right)\) trên [a ; b].

+) Xác định GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên [a ; b] và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt {2y + 2} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt 2 \sqrt {y + 1} } \right)^2} \le \left( {1 + 2} \right)\left( {x - 1 + y + 1} \right) = 3\left( {x + y} \right)\\ \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 3\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow 0 \le x + y \le 3\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x^2} + {y^2} + 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 8\sqrt {4 - x - y} \\P = {x^2} + {y^2} + 2xy + 2x + 2y + 2 + 8\sqrt {4 - \left( {x + y} \right)} \\P = {\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) + 2 + 8\sqrt {4 - \left( {x + y} \right)}
\end{array}\)

Đặt \(t = x + y,\,\,\,t \in \left[ {0;3} \right]\), khi đó ta có: \(P = {t^2} + 2t + 2 + 8\sqrt {4 - t}  = f\left( t \right)\,\,\forall t \in \left[ {0;3} \right]\).

Ta có \(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 2t + 2 + 8.\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {4 - t} }} = 2t + 2 - \frac{4}{{\sqrt {4 - t} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {4 - t} }} = t + 1\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\sqrt {4 - t}  = 2 \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2}\left( {4 - t} \right) = 4 \Leftrightarrow \left( {{t^2} + 2t + 1} \right)\left( {4 - t} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 4{t^2} + 8t + 4 - {t^3} - 2{t^2} - t - 4 = 0 \Leftrightarrow  - {t^3} + 2{t^2} + 7t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left[ {0;3} \right]\\t = 1 + 2\sqrt 2  \notin \left[ {0;3} \right]\\t = 1 - 2\sqrt 2  \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = 18,\,\,f\left( 3 \right) = 25 \Rightarrow M = 25,\,\,m = 18 \Rightarrow M + m = 43\).

Chọn D.