Phương pháp giải:

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \frac{{ - 1.1 - 1.{m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1 - {m^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall m \in R,\,\,\forall x \in D \Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \supset \left[ {2;4} \right]\).

\( \Rightarrow y\left( 4 \right) \le y\left( x \right) \le y\left( 2 \right)\,\,\forall x \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 2 \right) = 2 + {m^2}\).

Vì giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x - 1}}\) trên \([2; 4]\) bằng 2 nên \(2 + {m^2} = 2 \Leftrightarrow m = 0\).

Chọn A.