Phương pháp giải:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - x + 4 = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\).

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x + 4\) với đường thẳng \(y = 4\) là 3.

Chọn A.