Phương pháp giải:

+) Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

+) Gọi M là trung điểm của SB, trong (SBD) qua M kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SO tại I. Chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

+) Dựa vào tam giác đồng dạng tính SI.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi M là trung điểm của SB, trong (SBD) qua M kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SO tại I, ta có \(IS = IB\).

Lại có \(I \in SO \Rightarrow IA = IB = IC = ID \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS\). Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

Dễ dàng nhận thấy \(\Delta SMI \sim \Delta SOB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SO}} \Leftrightarrow SI = \frac{{SB.SM}}{{SO}} = \frac{{SB.\frac{{SB}}{2}}}{{\sqrt {S{B^2} - O{B^2}} }} = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {14} a}}{7}\)

Chọn A.