Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tỉ số thể tích Simpson: Cho hình chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó ta có \(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{ABCMN}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABC}}\)

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA\) và \(OA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA có :

\(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\).

Khi đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\).

Vậy \({V_{ABCMN}} = \frac{2}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{18}}\).

Chọn A.