Phương pháp giải:

Để giải quyết bài toán ta cần xây dựng công thức tổng quát của bài toán là \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {{\rm{(}}n + 1) - (k + 1)} \right]!}} = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\)

Theo đề bài \(k = 0;\;1;\;2....;\;n\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ..... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{n + 1}^{k + 1}}  = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {C_{n + 1}^k}  - C_{n + 1}^0} \right)\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\left( {C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1 + ...... + C_{n + 1}^n + C_{n + 1}^{n + 1} - C_{n + 1}^0} \right)\\ \Leftrightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {{{\left( {1 + 1} \right)}^{2n + 1}} - 1} \right] = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}.\end{array}\)

Chọn B