Phương pháp giải:

Để giải quyết bài toán ta cần biến đổi công thức tổng quát của bài toán là \(kC_n^k\)

Từ đó tính tổng biểu thức.

Kiến thức cần nhớ \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}}\\\;\;\;\;\;\; = n\frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}} = nC_{n - 1}^{k - 1},\;\;\forall k \ge 1\end{array}\)

Với  \(k = 1;\;2;\;3;...;\;n\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + ..... + nC_n^n\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{k = 1}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}}  = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {1 + 1} \right)^{n - 1}}.n = n{.2^{n - 1}}.\end{array}\)

Chọn D