Phương pháp giải:

Cho \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B},\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \)

H là trung điểm của BC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4; - 2} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A (định nghĩa).

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow H\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( { - 1;\;1} \right)\)

Do \(\Delta ABC\) cân tại A (cmt) \( \Rightarrow \) AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow AH = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)

Chọn A.